徐嘉余的母亲曾是温州市游泳队的运动员，主攻蛙泳项目，由于家人的反对没能延续下去，妈妈从徐嘉余小时候就带着他去游泳，不仅培养出儿子对游泳的兴趣，在每次徐嘉余参加比赛时也都会用自己的方式给予他鼓励。徐嘉余表示自己心中最大的偶像是蝶泳选手吴鹏；他喜欢黄色的泳帽，私底下练游泳的老师和同伴喜欢叫他“甲鱼”。
2002年，徐嘉余被挑选进入温州市少体校，师从教练林梦华，主攻男子蝶泳项目。
2008年，徐嘉余入选浙江队，拜师徐国义后，经省队教练组挖掘改练仰泳。
2011年，徐嘉余被授予游泳项目运动健将称号；在第七届全国城市运动会上获男子100米仰泳的铜牌。
2012年，徐嘉余以1分58秒27的成绩夺得全国游泳冠军赛暨奥运选拔赛男子200米仰泳亚军，达到奥运会A标；在全国游泳锦标赛暨全运会选拔赛上获男子100米仰泳项目铜牌、男子50米仰泳项目银牌、男子200米仰泳项目银牌。
2013年，徐嘉余在全国游泳冠军赛暨全运会预选赛男子200米仰泳决赛中以1分57秒83的成绩夺得冠军，获得4×100混合泳冠军，男子100仰季军，男子50仰季军。
2014年，徐嘉余在澳大利亚举行的五国游泳对抗赛100米仰泳决赛中战胜入江陵介，以53秒42的成绩获得冠军；在全国游泳冠军赛男子100米仰泳决赛中以52秒34的成绩打破全国纪录并夺冠，这一成绩在当年超过了日本的入江陵介；在国际泳联短池游泳世界杯系列赛（北京站）中夺得男子100米仰泳比赛冠军。
2015年，徐嘉余参加全国游泳冠军赛暨世锦赛选拔赛，以53秒47的成绩获得男子100米仰泳项目冠军；在男子200米仰泳决赛中以1分56秒26的成绩夺冠；在男子50米仰泳决赛中以25秒15的成绩获得冠军。
2016年，在广东佛山进行的全国游泳冠军赛暨里约奥运选拔赛男子100米仰泳决赛上，徐嘉余以53秒38的成绩夺冠；在亚洲游泳锦标赛男子4乘100混决赛中，徐嘉余作为中国队的第一棒游出了52秒75，打破了100米仰泳赛会纪录，和李响、李朱濠、余贺新以3分33秒43获得冠军。
2017年，在全国游泳冠军赛暨第十三届全运会预赛上，徐嘉余以51秒86获得男子100米仰泳冠军，同时打破了该项目亚洲纪录；在男子50米仰泳半决赛中，以24秒42刷新了自己在2014年创造的全国纪录，成为该届比赛打破三个项目纪录（50仰全国纪录，100仰亚洲纪录，200仰全国纪录）的选手，该成绩位列2017年度世界第一。
2018年，在山西太原进行的2018年全国游泳冠军赛，男子100米仰泳决赛，徐嘉余以52秒72获得冠军；雅加达亚运会男女混合4X100米混合泳接力决赛，由徐嘉余、闫子贝、张雨霏和朱梦惠组成的中国队以3分40秒45获得冠军，并且打破赛会纪录；在杭州进行的第14届世界短池游泳锦标赛，徐嘉余以49秒26获得男子100米仰泳银牌。
2020年，在国际泳联冠军游泳系列赛深圳站比赛中，徐嘉余获得男子100米仰泳冠军；在全国游泳冠军赛男子100米仰泳决赛中，徐嘉余以52秒60夺冠；由徐嘉余、闫子贝、张雨霏、杨浚瑄组成的苏鄂浙鲁联队，以3分38秒41的成绩打破美国队3分38秒56保持的世界纪录。
2021年，中国游泳争霸赛，徐嘉余以53秒35获得男子100米仰泳冠军；徐嘉余和队友以3分38秒86的成绩夺得了东京奥运会4×100米混合泳接力银牌。
▪ 2020-01 2020年国际泳联冠军游泳系列赛深圳站男子50米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2019-07 第18届世界游泳锦标赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2018-12-12 第14届世界短池游泳锦标赛 男子100米仰泳（亚军） （获奖）
▪ 2017-07 世界游泳锦标赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2017-07 世界游泳锦标赛 男女混合4×100米接力（季军） （获奖）
▪ 2017-04 全国游泳冠军赛 男子100米仰泳（冠军） 打破亚洲纪录 （获奖）
▪ 2015-04 全国游泳冠军赛暨世锦赛选拔赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2015-04 全国游泳冠军赛暨世锦赛选拔赛 男子200米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2015-04 全国游泳冠军赛暨世锦赛选拔赛 男子50米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2014-10 全国游泳锦标赛 男子200米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2014-10 全国游泳锦标赛 男子50米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2014-10 全国游泳锦标赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2014-10 短池游泳世界杯（北京站） 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2014-09 第十七届仁川亚运会 男子100米仰泳（亚军） （获奖）
▪ 2014-09 第十七届仁川亚运会 男子50米仰泳（季军） （获奖）
▪ 2014-05 全国游泳冠军赛 男子100米仰泳（冠军） 打破全国纪录 （获奖）
▪ 2014-05 全国游泳冠军赛 男子50米仰泳（冠军） 刷新该项目全国纪录 （获奖）
▪ 2014-05 全国游泳冠军赛 男子200米仰泳（冠军） 打破全国纪录 （获奖）
▪ 2014-02 五国游泳对抗赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2013-10 第六届东亚运动会 男子200米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2013-10 第六届东亚运动会 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2013-09 全国运动会 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2013-09 全国运动会 男子200米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2013-04 全国游泳冠军赛暨全运会预选赛 男子200米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2012-11 亚洲游泳锦标赛 男子100米仰泳（冠军） （获奖）
▪ 2012-11 亚洲游泳锦标赛 男子50米仰泳（季军） （获奖）
▪ 2012-09 全国游泳锦标赛暨全运会选拔赛 男子100米仰泳（季军） （获奖）
▪ 2012-09 全国游泳锦标赛暨全运会选拔赛 男子50米仰泳（亚军） （获奖）
▪ 2012-09 全国游泳锦标赛暨全运会选拔赛 男子200米仰泳（亚军） （获奖）
▪ 2012-04 全国游泳冠军赛暨奥运选拔赛 男子200米仰泳（亚军） （获奖）
▪ 2011-10 全国城市运动会 男子100米仰泳（季军） （获奖）
▪ 2017 2017CCTV体坛风云人物年度最佳男运奖动员奖 （提名）
▪ 2017 2017CCTV体坛风云人物年度突破运奖动员奖 （提名）
▪ 2019 2019福布斯中国30岁以下精英榜 （获奖）
▪ 2018 新华社中国十佳运动员 （获奖）
▪ 2020-12 体育运动荣誉奖章 （获奖）
▪ 2020-12-29 2020年中国体育十大人物 （获奖）
徐嘉余虽然只有17岁，已经参加了伦敦奥运会；（都市快报评）2013年徐嘉余成绩提高得非常快，假以时日他会和孙杨一样成为浙江的领军人物（韩乔生）；徐嘉余虽是18岁小将，却在2014全国游泳冠军赛上连打破男子50米、100米、200米仰泳三项全国纪录，达世界顶级水平，填补了中国男泳空白，已可称他是中国游泳界不折不扣的仰泳之王。（钱江晚报、中国青年报评）
徐嘉余最大的特点是肯练，而且很聪明，他是一个把游泳训练当乐趣的孩子，完全沉迷于游泳运动当中，这一点非常难得，随着他年纪渐渐大起来，力量上来了，成绩自然也就涨上来了，还有很大的成长空间（教练徐国义）；在100米仰泳中，徐嘉余2013年全运会、2014年全国冠军赛的比赛成绩和技术与2011年世界游泳锦标赛男子100米仰泳项目前三名运动员的进行对比，分析得出徐嘉余划水效果好、转身和到边技术有所提高，但划频较慢，且途中游的速度稳定性上起伏较大。（上海体育学院、国家体育总局体育科学研究所、浙江体育职业技术学院）
徐嘉余英俊、帅气，但态度非常谦虚、平和、内敛，甚至还很羞涩腼腆。（中国青年报评）
