1904年4月22日，罗伯特·奥本海默出生于美国纽约一个富有的德裔犹太人家庭，他幼时涉猎文学、哲学、语言等领域，最初在阿尔昆预科学校接受教育。
1911年，进入纽约菲尔德斯顿文理学校学习，他在一年内完成了三年级和四年级，并跳过了八年级的一个学期。
1921年，以十门全优的成绩从菲尔德斯顿文理学校毕业；同年，因在捷克斯洛伐克的家庭度假期间感染了结肠炎，之后在新墨西哥州进行康复，从而推迟了一年进入大学；随后，进入哈佛大学化学系学习，在本科期间被大学生荣誉协会录取，并在独立学习的基础上获得了物理学研究生资格。
1925年，以荣誉学生的身份从哈佛大学提前毕业；同年，到英国剑桥大学深造，想跟欧内斯特·卢瑟福从事实验物理研究，但欧内斯特·卢瑟福不愿收他为学生，于是开始攻读理论物理，加入到卡文迪许实验室，师从约瑟夫·约翰·汤姆逊。
1926年，转到德国哥廷根大学，跟随马克斯·玻恩从事研究。
1927年，从德国哥廷根大学毕业，获得物理学博士学位，接下来的两年先后在瑞士的苏黎世和荷兰的莱登作进一步的研究。
1929年夏天，回到美国后感染了肺结核，在新墨西哥州洛斯阿拉莫斯镇附近的一个农场上养病；同年，进入加利福尼亚大学伯克利分校任教，并创立了“奥本海默理论物理学中心”。
1941年，当选为美国国家科学院院士。
1942年8月，被任命为研制原子弹的“曼哈顿计划”首席科学家。
1943年，在新墨西哥州沙漠主持创建了美国洛斯·阿拉莫斯国家试验室并担任主任，爱德华·泰勒协助罗伯特·奥本海默组织在洛斯阿拉莫斯工作的团队。
1945年7月，主导制造出了世界上第一颗原子弹；10月，辞去洛斯阿拉莫斯实验室主任的职务，之后短暂执教于美国加州理工学院。
1947年—1966年，担任新泽西州普林斯顿高等研究院院长。
1954年，德怀特·戴维·艾森豪威尔“以他早年的左倾活动和延误政府发展氢弹的战略决策为罪状起诉，甚至怀疑他为苏联的代理人”对罗伯特·奥本海默进行安全审查，并吊销其安全特许权。
1965年，患了肝炎，身体不佳。
1966年，从普林斯顿高等研究院退休，很快发现患上喉癌。
1967年2月18日，因喉癌于美国新泽西州普林斯顿市去世，享年62岁。死后火化，骨灰撒到英属维尔京群岛。
2022年12月16日，撤销1954年吊销罗伯特·奥本海默安全特许权的决定。
罗伯特·奥本海默在理论天文学、核物理、光谱学和量子场论（包括量子电动力学）等方面都做出一定的工作。他与马克斯·玻恩波提出了描述分子波函数的玻恩—奥本海默近似法。
罗伯特·奥本海默最初的研究焦点在于连续光谱理论，他在1926年发表的第一篇论文是关于分子频谱的量子理论。他发明出一种计算能级跃迁概率的方法，把它应用在氢发出X光的电光效应现象上，算出K缘的吸收系数。氢的计算结果和太阳的X光吸收光谱相符，但氦的计算结果却并不吻合。科学家多年后发现太阳的主要成分为氢，意味着他的计算一直都是正确的。
罗伯特·奥本海默在宇宙射线理论上做了一些工作，并且展开了描述量子隧穿效应的工作。1931年和学生哈维·霍尔一起发表《电光效应的量子理论》，通过实验证据正确地推翻了狄拉克所提出的氢原子其中两个能级能量相同的主张。
罗伯特·奥本海默和他的博士生梅尔巴·菲利浦斯对氘核轰击所产生的人工放射性做过计算。1935年，他们得出了一套更加强大的新理论，称为奥本海默—菲利浦斯过程。
1930年末，罗伯特·奥本海默开始研究天体物理学。
1938年，和罗伯特·瑟伯尔联名发表，名为《论中子恒星核的稳定性》探讨了白矮星的性质。接着，他和学生乔治·沃尔科夫发表的《论大质量中子星核》证明稳定的中子星有一定的质量极限，一旦超过，就会发生引力坍缩，这就是所谓的托勒曼—奥本海默—沃尔科夫。
1939年，他和学生哈特兰·史奈德发表《论持续不停的引力相吸》预测了黑洞的存在。
罗伯特·奥本海默在担任曼哈顿计划主任期间，除了处理宏观战略和具体战术问题外，他还指导三千多人在不同地点进行绝密研究。
1941年，当选美国国家科学院院士。
1945年，获得总统功绩勋章。
1946年，当选美国哲学学会会士。
1963年12月23日，获得费米奖。
1963年，当选美国科学促进会会士。
1950年代麦卡锡主义开始泛滥，罗伯特·奥本海默受到的怀疑越来越多，因为他在1930年代认识几位共产主义者，而且在1942年的一次调查中他的一些朋友被鉴定为苏联特工，加上反对制造氢弹。1952年，美国原子能委员会编制一份关于奥本海默涉嫌可疑活动的文件，并于12月派代表从罗伯特·奥本海默的普林斯顿办公室删除了所有与美国原子能委员会总咨询委员会有关的秘密文件。
1953年12月，美国原子能委员会在安全听证会宣布他没有叛国罪，但裁定他不应该接触军事机密，他作为美国原子能委员会顾问被终止。
1954年6月，被吊销其安全特许权，理由是“人格上的本质缺陷”，以及他自1942年以来他对共产主义协会“远远超出了担任高级职位的人所期望的谨慎和自我克制的可容忍限度”。
美国科学家联合会对他的审查进行抗议，认为他是麦卡锡主义的牺牲品。约翰·肯尼迪担任总统后，建议以为他颁发“费米奖”的方式平反，并决定将1963年度费米奖授予他并亲自出席仪式。但是约翰·肯尼迪在仪式的前10天，也就是于1963年11月23日在得克萨斯州达拉斯市遇刺身亡。之后继任总统林登·贝恩斯·约翰逊于同年为奥本海默颁发了费米奖和5万美元的奖金，但只是形式上的恢复名誉，仍然不允许他介入军事秘密。
2022年12月16日，美国能源部长詹妮弗·格兰霍姆下令撤销1954年吊销罗伯特·奥本海默安全许可的决定。
